एक प्रकार्य को सीमा के हो

यस प्रकाशनमा, हामी गणितीय विश्लेषणको मुख्य अवधारणाहरू मध्ये एकलाई विचार गर्नेछौं - कार्यको सीमा: यसको परिभाषा, साथै व्यावहारिक उदाहरणहरू सहित विभिन्न समाधानहरू।

प्रकार्यको सीमा निर्धारण गर्दै

कार्य सीमा - मान जसमा यो प्रकार्यको मान झुक्छ जब यसको तर्क सीमित बिन्दुमा जान्छ।

सीमित रेकर्ड:

• सीमा प्रतिमा द्वारा संकेत गरिएको छ लिम;
• तल यो थपिएको छ कि प्रकार्यको आर्गुमेन्ट (चर) कुन मान हुन्छ। सामान्यतया यो x, तर जरूरी छैन, उदाहरणका लागि:x→1″;
• त्यसपछि प्रकार्य आफै दायाँ मा थपिएको छ, उदाहरण को लागी:

  

यसरी, सीमाको अन्तिम रेकर्ड यस्तो देखिन्छ (हाम्रो अवस्थामा):

जस्तै पढ्छ "x ले एकतामा झुक्याउने कार्यको सीमा".

x.1 १२.। - यसको मतलब यो हो कि "x" ले निरन्तर रूपमा मानहरू लिन्छ जुन असीम रूपमा एकतामा पुग्छ, तर यसको साथ कहिल्यै मेल खाँदैन (यो पुग्ने छैन)।

निर्णय सीमा

दिइएको संख्या संग

माथिको सीमा समाधान गरौं। यो गर्नको लागि, केवल प्रकार्यमा एकाई प्रतिस्थापन गर्नुहोस् (किनभने x→१):

यसरी, सीमा समाधान गर्न, हामी पहिले दिइएको संख्यालाई तलको प्रकार्यमा प्रतिस्थापन गर्ने प्रयास गर्छौं (यदि x कुनै निश्चित संख्यामा हुन्छ)।

अनन्तता संग

यस अवस्थामा, प्रकार्यको तर्क असीम रूपमा बढ्छ, त्यो हो, "X" अनन्तता (∞) लाई झुकाउँछ। उदाहरणका लागि:

If x→∞, त्यसपछि दिइएको प्रकार्यले माइनस इन्फिनिटी (-∞) मा जान्छ, किनभने:

• 3 - 1 = ०.२2।
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 - 1000 - 997 आदि।

अर्को थप जटिल उदाहरण

यो सीमा समाधान गर्न, पनि, केवल मानहरू बढाउनुहोस् x र यस अवस्थामा प्रकार्यको "व्यवहार" हेर्नुहोस्।

• RџSЂRё x = 1, y =।² + ३ · १ – ६ = -२
• RџSЂRё x = 10, y =।² + ३ · १० – ६ = १२४
• RџSЂRё x = 100, y =।² + ३ · १० – ६ = १२४

यसरी, लागि "X"अनन्ततामा झुकाव, कार्य x² + 3x - 6 अनिश्चित रूपमा बढ्छ।

अनिश्चितताको साथ (x अनन्ततामा जान्छ)

यस अवस्थामा, हामी सीमाहरूको बारेमा कुरा गर्दैछौं, जब प्रकार्य एक अंश हो, जसको संख्या र भाजक बहुपदहरू हुन्। जसमा "X" अनन्ततातिर लाग्छन्।

उदाहरण: तलको सीमा गणना गरौं।

समाधान

अंक र भाजक दुवैमा अभिव्यक्तिहरू अनन्ततामा हुन्छन्। यो मान्न सकिन्छ कि यस मामला मा समाधान निम्नानुसार हुनेछ:

यद्यपि, सबै यति सरल छैन। सीमा समाधान गर्न हामीले निम्न गर्न आवश्यक छ:

Find. खोज्नुहोस् x अंकको लागि उच्चतम शक्तिमा (हाम्रो अवस्थामा, यो दुई हो)।

2. त्यसै गरी, हामी परिभाषित गर्छौं x भाजकको लागि उच्चतम शक्तिमा (दुई बराबर)।

3. अब हामी दुबै अंक र भाजकलाई भाग गर्छौं x वरिष्ठ डिग्री मा। हाम्रो मामलामा, दुवै अवस्थामा - दोस्रोमा, तर यदि तिनीहरू फरक थिए भने, हामीले उच्चतम डिग्री लिनुपर्छ।

4. नतिजामा, सबै अंशहरू शून्यमा जान्छन्, त्यसैले उत्तर 1/2 हो।

अनिश्चितता संग (x एक विशेष संख्यामा झुक्छ)

अंक र भाजक दुबै बहुपद हुन्, यद्यपि, "X" एक विशिष्ट संख्यामा झुक्छ, अनन्ततामा होइन।

यस अवस्थामा, हामी सशर्त रूपमा हाम्रो आँखा बन्द गर्छौं कि भाजक शून्य हो।

उदाहरण: तलको प्रकार्यको सीमा पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान

1. पहिले, नम्बर 1 लाई प्रकार्यमा प्रतिस्थापन गरौं, जसमा "X"। हामीले विचार गरिरहेको फारमको अनिश्चितता पाउँछौं।

2. अर्को, हामी अंश र भाजकलाई कारकहरूमा विघटन गर्छौं। यो गर्नका लागि, तपाइँ संक्षिप्त गुणन सूत्रहरू प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ, यदि तिनीहरू उपयुक्त छन्, वा।

हाम्रो अवस्थामा, अंकमा अभिव्यक्तिको जरा (2x² - 5x + 3 = 0) नम्बरहरू १ र १,५ हुन्। त्यसैले, यसलाई प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ: २(x-१)(x-१,५).

भाजक (x-1) सुरुमा सरल छ।

3. हामीले यस्तो परिमार्जित सीमा पाउँछौं:

4. अंश घटाउन सकिन्छ (x-1):

5. यो सीमा अन्तर्गत प्राप्त अभिव्यक्तिमा नम्बर 1 लाई प्रतिस्थापन गर्न मात्र रहन्छ: