सामग्रीहरू
यस प्रकाशनमा, हामी affine ज्यामितिको शास्त्रीय प्रमेयहरू मध्ये एकलाई विचार गर्नेछौं - Ceva प्रमेय, जसले इटालियन इन्जिनियर Giovanni Ceva को सम्मानमा यस्तो नाम प्राप्त गर्यो। प्रस्तुत सामग्रीलाई एकीकरण गर्नको लागि हामी समस्या समाधान गर्ने उदाहरणको विश्लेषण गर्नेछौं।
प्रमेयको कथन
त्रिकोण दिइएको छ ए बी सी, जसमा प्रत्येक शीर्ष विपरित पक्षको बिन्दुमा जोडिएको हुन्छ।
यसरी, हामीले तीन खण्डहरू पाउँछौं (AA', BB' и CC'), जसलाई भनिन्छ cevians.
यी खण्डहरू एक बिन्दुमा काट्छन् यदि र केवल यदि निम्न समानता राख्छ भने:
|र '| |होइन'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
प्रमेयलाई यस फारममा पनि प्रस्तुत गर्न सकिन्छ (यो कुन अनुपातमा बिन्दुहरूले पक्षहरूलाई विभाजन गर्छ भनेर निर्धारण गरिन्छ):
Ceva को त्रिकोणमितीय प्रमेय
नोट: सबै कुनाहरू उन्मुख छन्।
समस्याको उदाहरण
त्रिकोण दिइएको छ ए बी सी बिन्दुहरु संग TO', B' и C' पक्षहरूमा BC, AC и AB, क्रमशः। त्रिभुजको शीर्षहरू दिइएको बिन्दुहरूसँग जोडिएका छन्, र गठन गरिएका खण्डहरू एक बिन्दु मार्फत जान्छ। एकै समयमा, अंक TO' и B' सम्बन्धित विपरीत पक्षहरूको मध्य बिन्दुहरूमा लिइएको। कुन अनुपातमा बिन्दु पत्ता लगाउनुहोस् C' पक्ष विभाजन गर्दछ AB.
समाधान
समस्याको अवस्था अनुसार रेखाचित्र कोरौं। हाम्रो सुविधाको लागि, हामी निम्न नोटेशन अपनाउछौं:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
यो Ceva प्रमेय अनुसार खण्डहरूको अनुपात रचना गर्न र यसमा स्वीकृत नोटेशन प्रतिस्थापन गर्न मात्र बाँकी छ:
अंशहरू घटाएपछि, हामी पाउँछौं:
यसैले, AC' = C'B, अर्थात बिन्दु C' पक्ष विभाजन गर्दछ AB आधा।
त्यसैले, हाम्रो त्रिकोणमा, खण्डहरू AA', BB' и CC' मध्यस्थ छन्। समस्या समाधान गरिसकेपछि, हामीले प्रमाणित गर्यौं कि तिनीहरू एक बिन्दुमा काट्छन् (कुनै पनि त्रिकोणको लागि मान्य)।
नोट: Ceva को प्रमेय प्रयोग गरेर, कसैले प्रमाणित गर्न सक्छ कि त्रिकोणमा एक बिन्दुमा, द्विभाजक वा उचाइहरू पनि प्रतिच्छेदन गर्दछ।