यस प्रकाशनमा, हामी गाउसियन विधि के हो, यो किन आवश्यक छ, र यसको सिद्धान्त के हो भनेर विचार गर्नेछौं। रैखिक समीकरणहरूको प्रणालीलाई समाधान गर्न विधि कसरी लागू गर्न सकिन्छ भनेर हामी व्यावहारिक उदाहरण प्रयोग गरेर देखाउनेछौं।
Gauss विधि को विवरण
गौस विधि समाधान गर्न प्रयोग गरिने चरहरूको क्रमिक उन्मूलनको शास्त्रीय विधि हो। यसको नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गौस (१७७७-१८८५) को नाममा राखिएको हो।
तर पहिले, हामीलाई सम्झनुहोस् कि SLAU ले गर्न सक्छ:
- एक मात्र समाधान छ;
- समाधान को एक असीम संख्या छ;
- असंगत हुनुहोस्, अर्थात् कुनै समाधान छैन।
व्यावहारिक लाभ
Gauss विधि SLAE लाई समाधान गर्ने उत्कृष्ट तरिका हो जसमा तीन भन्दा बढी रैखिक समीकरणहरू, साथै वर्ग नभएका प्रणालीहरू समावेश हुन्छन्।
Gauss विधि को सिद्धान्त
विधिले निम्न चरणहरू समावेश गर्दछ:
- सीधा - समीकरणको प्रणालीसँग मिल्दोजुल्दो संवर्धित म्याट्रिक्स, पङ्क्तिहरू माथिको त्रिकोणीय (चरणबद्ध) फारममा घटाइन्छ, अर्थात् मुख्य विकर्ण मुनि शून्य बराबर तत्वहरू मात्र हुनुपर्छ।
- फिर्ता - परिणामस्वरूप म्याट्रिक्समा, मुख्य विकर्ण माथिका तत्वहरू पनि शून्य (तल्लो त्रिकोणीय दृश्य) मा सेट गरिएका छन्।
SLAE समाधान उदाहरण
Gauss विधि प्रयोग गरेर तलको रेखीय समीकरणको प्रणालीलाई हल गरौं।
समाधान
1. सुरुमा, हामी विस्तारित म्याट्रिक्सको रूपमा SLAE प्रस्तुत गर्दछौं।
2. अब हाम्रो कार्य मुख्य विकर्ण अन्तर्गत सबै तत्वहरू रिसेट गर्नु हो। थप कार्यहरू विशिष्ट म्याट्रिक्समा निर्भर गर्दछ, तल हामी हाम्रो मामलामा लागू हुनेहरूलाई वर्णन गर्नेछौं। पहिले, हामी पङ्क्तिहरू स्वैप गर्छौं, यसरी तिनीहरूको पहिलो तत्वहरूलाई बढ्दो क्रममा राख्छौं।
3. दोस्रो पङ्क्तिबाट पहिलो दुई पटक घटाउनुहोस्, र तेस्रोबाट - पहिलो तीन गुणा।
4. तेस्रो लाइनमा दोस्रो लाइन थप्नुहोस्।
5. पहिलो रेखाबाट दोस्रो रेखा घटाउनुहोस्, र एकै समयमा तेस्रो रेखालाई -10 ले विभाजन गर्नुहोस्।
6. पहिलो चरण पूरा भयो। अब हामीले मुख्य विकर्ण माथि शून्य तत्वहरू प्राप्त गर्न आवश्यक छ। यो गर्नको लागि, पहिलो पङ्क्तिबाट 7 द्वारा गुणन गरिएको तेस्रोलाई घटाउनुहोस्, र दोस्रोमा 5 द्वारा गुणन गरिएको तेस्रो थप्नुहोस्।
7. अन्तिम विस्तारित म्याट्रिक्स यस्तो देखिन्छ:
8. यो समीकरण प्रणाली संग मेल खान्छ:
उत्तर: मूल SLAU: x = 2, y = 3, z = 1।