फर्मेटको सानो प्रमेय

यस प्रकाशनमा, हामी पूर्णांकहरूको सिद्धान्तमा मुख्य प्रमेयहरू मध्ये एकलाई विचार गर्नेछौं -  फर्मेटको सानो प्रमेयफ्रान्सेली गणितज्ञ पियरे डे फर्मेटको नामबाट नामाकरण गरिएको हो। हामी प्रस्तुत गरिएको सामग्रीलाई एकीकरण गर्न समस्या समाधान गर्ने उदाहरण पनि विश्लेषण गर्नेछौं।

प्रमेयको कथन

1. प्रारम्भिक

If p अविभाज्य संख्या हो a एक पूर्णांक हो जसलाई द्वारा भाग गर्न सकिदैन pत्यसपछि a^p-1 - 1 द्वारा विभाजित p.

यो औपचारिक रूपमा यस्तो लेखिएको छ: a^p-1 ≡ १ (बिरूद्ध p).

नोट: अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या हो जसलाई XNUMX द्वारा मात्र भाग गर्न सकिन्छ र बाँकी बिना नै।

जस्तै:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – ३ = ८१ – ३ = ७८
• नम्बर 15 द्वारा विभाजित 5 बाँकी बिना।

Al. वैकल्पिक

If p अविभाज्य संख्या हो, a कुनै पनि पूर्णांक, त्यसपछि a^p तुलनात्मक a मोड्युलो p.

a^p ≡ क (बिरूद्ध p)

प्रमाण खोज्ने इतिहास

Pierre de Fermat ले 1640 मा प्रमेय बनाए, तर आफैले प्रमाणित गरेन। पछि, यो Gottfried Wilhelm Leibniz, एक जर्मन दार्शनिक, तर्कशास्त्री, गणितज्ञ, आदि द्वारा गरिएको थियो। यो मानिन्छ कि उहाँ पहिले नै 1683 सम्म प्रमाण थियो, यद्यपि यो कहिल्यै प्रकाशित भएको थिएन। यो उल्लेखनीय छ कि लाइबनिजले आफैले प्रमेय पत्ता लगाए, यो पहिले नै तयार भइसकेको थाहा नभएको।

प्रमेय को पहिलो प्रमाण 1736 मा प्रकाशित भएको थियो, र यो स्विस, जर्मन र गणितज्ञ र मेकानिक, Leonhard Euler को हो। फर्मेटको सानो प्रमेय यूलरको प्रमेयको विशेष मामला हो।

समस्याको उदाहरण

संख्याको बाँकी पत्ता लगाउनुहोस् 2¹² on 12.

समाधान

संख्या कल्पना गरौं 2¹² as १.2..2 XNUMX ⋅१-१०¹¹.

11 अविभाज्य संख्या हो, त्यसैले, Fermat को सानो प्रमेय द्वारा हामी प्राप्त गर्छौं:

2¹¹ ≡ १ (बिरूद्ध 11).

यसैले, १.2..2 XNUMX ⋅१-१०¹¹ ≡ १ (बिरूद्ध 11).

त्यसैले नम्बर 2¹² द्वारा विभाजित 12 बराबर शेष संग 4.